Hữu thể luận Cấu trúc trong Toán học (I)

Marc Gasser

Người dịch: Hà Hữu Nga

Một phiên bản nổi bật của cấu trúc luận toán học cho rằng các đối tượng toán học suy cho cùng cũng không có gì ngoài “các vị trí trong các cấu trúc”, các thực thể quan hệ thuần túy không có bất kỳ loại bản chất nào độc lập với cái cấu trúc mà chúng thuộc về. Một hữu thể luận như vậy thường được trình bày như là một phản ứng đối với vấn đề các “quy giản đa bội” [1] Benacerraf [2], hoặc được thúc đẩy trên cơ sở tường giải học, như là một đại diện trung thành của diễn ngôn và thực hành toán học. Trong bài viết này, tôi cho rằng có những khó khăn nghiêm trọng đối với loại quan điểm đó: những người đề xướng nó dựa vào sự khác biệt giữa các đặc tính “thiết yếu” và “không thiết yếu” của các đối tượng toán học, và không có cách nào hữu hiệu để nói rõ về sự khác biệt phù hợp với các cam kết cấu trúc luận cơ bản này. Nhưng mọi thứ chưa hẳn đã mất hết. Đối với tôi việc lập luận thêm rằng những hiểu biết sâu sắc thúc đẩy cấu trúc luận (hoặc ít nhất là những gì đáng bảo tồn) có thể được bảo tồn mà không hệ thống hóa thành quan điểm trong khuôn khổ cam kết về phương diện hữu thể luận.

Các nhà cấu trúc luận toán học nghĩ rằng toán học cơ bản quan tâm đến các cấu trúc, hoặc đến các mối quan hệ giữa các đối tượng toán học do thuộc về một cấu trúc nào đó. Tư tưởng này thường được phát triển thành một khẳng định hữu thể luận: người ta coi các đối tượng toán học chỉ là “các vị trí trong các cấu trúc”, các thực thể quan hệ cơ bản mà không có bất kỳ thành phần nội tại hoặc bất kỳ loại bản chất nào độc lập với cái cấu trúc mà chúng thuộc về.¹ Các nhà cấu trúc luận thường thúc đẩy một hữu thể luận như vậy trên cơ sở triết học và tường giải học. Về mặt triết học, hữu thể luận cấu trúc thường được trình bày như là một phản ứng đối với vấn đề “các quy giản đa bội” được Benacerraf (1965) xiển dương.² Về phương diện tường giải học, hữu thể luận cấu trúc được cho là trung thành với diễn ngôn và thực hành toán học – mà diễn ngôn toán học dường như lại đề cập đến các đối tượng toán học, và các nhà toán học có vẻ chỉ quan tâm đến các mối quan hệ cấu trúc giữa các đối tượng này với nhau.³ Tôi sẽ tranh luận về hai khẳng định trong bài viết này. Đầu tiên là khẳng định cho rằng có những khó khăn nghiêm trọng đối với hữu thể luận cấu trúc. Cụ thể, tôi cho rằng bất kỳ tuyên bố xác đáng nào về một hữu thể luận như vậy cũng đều dựa trên sự khác biệt giữa các đặc tính “thiết yếu” và “không thiết yếu” của các đối tượng toán học, và không có cách nào thỏa đáng để giải thích rõ ràng sự khác biệt phù hợp với các cam kết cấu trúc luận cơ bản này. Khẳng định thứ hai là những hiểu biết sâu sắc thúc đẩy cấu trúc luận vừa không có giá trị bảo tồn, hoặc đến mức là chúng có thể được bảo tồn mà không hình thành quan điểm theo khuôn khổ cam kết về phương diện hữu thể luận. Ở đây, lập luận của tôi bao gồm hai phần. Trước hết, tôi sẽ cố gắng chỉ ra rằng vấn đề của Benacerraf, sau khi xem xét kỹ lưỡng hơn, thì đó chính là động lực hữu thể luận cấu trúc nghèo nàn (và thực sự cũng như vậy đối với bất kỳ loại hữu thể luận toán học nào). Sau đó, tôi cho rằng các tri thức sâu về tường giải học được đề cập ở trên có thể được bảo tồn bằng một phiên bản trung tính về hữu thể luận của cấu trúc luận nhằm tránh những khó khăn mà các đối tác cam kết hữu thể luận của nó phải đối mặt. Nếu điều này là chính xác, thì cấu trúc luận sẽ nảy sinh một quan điểm khiêm tốn hơn so với nhiều người đề xuất hiện tại của nó gợi ý.

1. Các tri thức sâu về cấu trúc luận

Cấu trúc luận toán học, như tôi sẽ thảo luận về nó trong bài viết này, là một quan điểm liên quan đến chủ đề toán học. Trong phép gần đúng đầu tiên, quan điểm nói rằng toán học là việc khảo sát các cấu trúc nhất định và các đối tượng toán học có thể được đặc trưng bởi các mối quan hệ cấu trúc giữa các đối tượng đó. Người ta vẫn luôn thấy có sự tương phản với các thực thể vật lý thông thường: chúng ta có thể mong đợi việc phân tích về một thực thể vật lý nào đó khải lộ cấu tạo, hoặc cấu trúc phân tử hay khối lượng của nó, nhưng (theo quan điểm của cấu trúc luận), sẽ là sai lầm khi chờ đợi một phân tích sâu hơn về các con số hoặc các tập hợp để khải lộ bất cứ điều gì quan trọng ngoài các mối quan hệ giữa các con số hoặc các tập hợp đó. Trong các văn liệu gần đây⁴ ý tưởng cơ bản này đã được phát triển theo hai cách. Cách tiếp cận đầu tiên, cấu trúc luận loại trừ, được thúc đẩy bởi tư tưởng cho rằng các đối tượng có bản chất cấu trúc thuần túy là những đối tượng có vấn đề sâu sắc và thực sự không nên coi chúng là các đối tượng . Các nhà cấu trúc luận loại trừ tìm cách diễn giải các mệnh đề quy các đối tượng toán học thành các mệnh đề tổng quát về những gì chứa trong bất kỳ tập hợp đối tượng nào thỏa mãn các điều kiện nhất định.⁵ Phép diễn giải này giúp cho các nhà cấu trúc luận loại trừ không phải liên quan đến các đối tượng toán học - và thực sự không phải viện vào bất kỳ cấu trúc cụ thể nào mà các đối tượng này có thể thuộc về - và do đó giải thoát họ khỏi những cam kết hữu thể luận mà họ cho là có vấn đề. Ngược lại, cấu trúc luận phi loại trừ lại không tránh khỏi một quan niệm liên quan cơ bản về các đối tượng toán học. Các mệnh đề toán học thông thường được thừa nhận giá trị bề ngoài, vì các mệnh đề có các số hạng kỳ dị biểu thị các đối tượng như hình tam giác, các số, các tập hợp, v.v. - chỉ có điều là bản chất của các đối tượng này được cấu thành bởi các mối quan hệ cấu trúc giữa chúng với nhau, và không có gì hơn. Nếu những đối tượng này có vẻ kỳ quặc về phương diện siêu hình học, thì hãy cứ để như vậy đi.

Lập luận tiếp theo của tôi sẽ chỉ liên quan đến cấu trúc luận của các đa tạp phi loại trừ - loại cấu trúc luận chính thức tán thành một quan niệm nhất định về các đối tượng toán học. Tôi cũng sẽ tập trung chú ý vào các quan điểm cấu trúc luận toàn diện, nghĩa là các quan điểm cấu trúc luận áp dụng cho tất cả các đối tượng toán học. Điều này một phần là do hầu hết những người đề xướng cấu trúc luận gần đây tán thành nó ở dạng toàn diện,⁶ và một phần vì các hình thức cấu trúc luận hạn chế hơn thì lại rất ít thú vị. Thật vậy, dường như không có gì phải bàn cãi khi ở một số trường con, các nhà toán học xác định các đối tượng thuần túy vì các đặc điểm cấu trúc của chúng (lý thuyết nhóm là một ví dụ mang tính hệ mẫu). Nhưng các định nghĩa như vậy thường liên quan đến việc viện vào lý thuyết tập hợp làm lý thuyết nền. Đối với tôi, cấu trúc luận bị châm chích bằng cách áp dụng quan điểm có trong các trường con “đại số” như vậy vào các môn học như bản thân lý thuyết tập hợp, trong đó các đối tượng thường không được giới thiệu bằng cách xây dựng từ một số lý thuyết nền nào đó khác. Vậy là từ đây, tôi sẽ sử dụng “cấu trúc luận” để biểu thị cấu trúc luận toàn diện, phi loại trừ.

2. Tại sao phải là một nhà cấu trúc luận?

Cấu trúc thường được thúc đẩy dựa trên cơ sở triết học, như là một phản ứng đối với vấn đề “các quy giản đa bội”, được Benacerraf (1965)⁷ đề xuất. Vấn đề này nổi lên trong bối cảnh phát triển lý thuyết tập hợp (hay “các quy giản”) số học, như đã được biết rõ, chúng ta có thể giải thích số học bằng khuôn khổ lý thuyết tập hợp bằng cách xác định chuỗi số tự nhiên với các tập hợp nhất định. Nhưng trên thực tế, nhiều cách giải thích như vậy là có thể, và dường như không có lý do chính đáng nào để chọn cái này hơn cái kia. Chẳng hạn, người ta có thể sử dụng các số thứ tự von Neumann và xác định số 2 bằng {∅, {∅}} hoặc sử dụng các số Zermelo và xác định số 2 bằng {{∅}}. Benacerraf lập luận rằng vì các con số không thể được xác định bằng các tập hợp cụ thể, nên chúng không hề là các tập hợp. Ông còn lập luận thêm bằng các tuyến tương tự, là các con số không phải là các đối tượng: bất kỳ hệ thống đối tượng đã cho nào có thể được xác định bằng chuỗi số tự nhiên, thì cũng tồn tại các hệ thống khác hoạt động tốt như vậy – vì như Benacerraf nhận thấy, tất cả những gì quan trọng đối với mục đích quy giản chính là bảo tồn các mối quan hệ cấu trúc giữa các thành phần của chuỗi số tự nhiên.

Phản ứng cấu trúc luận là chấp nhận quan sát của Benacerraf nhưng phủ nhận kết luận của ông: đúng là chỉ có quan hệ cấu trúc giữa các số tự nhiên mới quan trọng, và thật sai lầm khi kết luận rằng các số tự nhiên không phải là các đối tượng.⁸ Theo quan điểm cấu trúc luận, số tự nhiên là các vị trí trong một cấu trúc trừu tượng (cấu trúc của chuỗi ω-omega) mà các hệ thống đối tượng khác nhau có thể khởi tạo. Các vị trí như vậy là các đối tượng, ngay cả khi đồng nhất thức của chúng chỉ thực sự phụ thuộc vào các mối quan hệ giữa chúng với nhau. Do đó, hữu thể luận cấu trúc có nghĩa là việc đưa ra một lời đáp cho vấn đề Benacerraf, có lẽ là hòa tan vấn đề, vì theo quan điểm cấu trúc luận, thực ra không có vấn đề gì để bắt đầu.

Cấu trúc luận cũng đã được thúc đẩy trên cơ sở tường giải học. Thật vậy, diễn ngôn toán học là (trên bề mặt của nó) về các đối tượng toán học, và các nhà toán học đang làm việc thường có vẻ thờ ơ với các câu hỏi liên quan đến các đặc điểm phi cấu trúc của các đối tượng này: họ tin nội dung mô tả các số tự nhiên là các thành phần của chuỗi-ω; các số thực là thành phần của một trường sắp thứ tự hoàn toàn; hoặc các mặt phẳng, điểm và đường là thành phần của một cấu trúc thỏa mãn các tiên đề cơ bản của hình học. Nói cách khác, không bao giờ phát sinh vấn đề là liệu các số tự nhiên có thực sự được đồng nhất với các số thứ tự von Neumann [3] hoặc các chữ số Zermelo [4] hay không, liệu các số thực có thực sự được đồng nhất với các lớp tương đương của các chuỗi Cauchy hay các cắt Dedekind [5] - cái quan trọng chỉ là một cấu trúc nào đó với các thuộc tính thích hợp đã được chứng minh là tồn tại.⁹ Nhà cấu trúc luận có cách giải thích rõ ràng cho sự thờ ơ này: các câu hỏi liên quan đến đồng nhất thức phi cấu trúc của các đối tượng toán học là không liên quan vì, suy cho cùng, không tìm thấy đồng nhất thức phi cấu trúc.

3. Định nghĩa Cấu trúc luận

Vậy là tôi đã trình bày quan điểm cấu trúc luận bằng khuôn khổ không mấy chính thức, viện dẫn nhiều cụm từ khác nhau liên quan đến các đối tượng “quan hệ cơ bản”, mà bản chất hoặc đồng nhất thức của chúng được đưa ra bởi các mối quan hệ cấu trúc giữa chúng với nhau. Nhưng chính xác những gì là các quan hệ cấu trúc ấy? Chúng “xác định bản chất” của các đối tượng toán học theo nghĩa nào, và có thực sự cần thiết phải đưa ra bất kỳ sự phân biệt thẳng thừng nào giữa các đặc tính “thiết yếu” và “không thiết yếu” để tuyên bố rõ về loại quan điểm này không?

Câu hỏi đầu tiên thường được trả lời như sau. Giả sử chúng ta có một số hệ thống các đối tượng nào đó liên quan đến nhau theo những cách thức nhất định. Một cấu trúc là những gì còn lại một khi chúng ta trừu tượng hóa bất kỳ đặc tính nào mà các đối tượng này có thể có bên ngoài các mối quan hệ của chúng với nhau. Vì vậy, ví dụ, chúng ta có thể trừu tượng cấu trúc của một chuỗi-ω từ hệ thống các số thứ tự von Neumann hữu hạn 〈ω, ∅, SV (x) = x ∪ {x} hoặc từ hệ thống các chữ số Zermelo 〈ω, ∅, SZ(x) = {x}〉, hay từ hệ thống các số nguyên dương chẵn 〈2ℕ, 0, SE (n) = n + 2〉, hoặc thực sự từ bất kỳ hệ thống đối tượng nào có phần tử đầu tiên phân biệt đóng dưới một mối quan hệ kế thừa quy nạp.¹⁰ Trong trường hợp này, cấu trúc kết quả sẽ chỉ là một tập hợp các vị trí liên quan với nhau bằng một mối quan hệ kế thừa trừu tượng.¹¹ Loại mối quan hệ này - có nghĩa là các mối quan hệ mà chúng ta thấy được chứng minh bằng các hệ thống khác nhau của một loại phép đẳng cấu nào đó - được coi là các quan hệ cấu trúc và bất kỳ đặc tính nào có thể xác định từ các quan hệ này đều được coi là thuộc tính cấu trúc. Vì vậy, chẳng hạn việc “là số lẻ” và “là số dương” thì được coi là các thuộc tính cấu trúc của các số tự nhiên, trong khi các thuộc tính như “là số ngón tay trên bàn tay của tôi” hay “là độc lập-tư duy” thì lại không.

Giờ đây người ta có thể tự hỏi các cấu trúc trừu tượng hóa này phải được coi là loại đối tượng gì. Và theo như tôi được biết thì không có sự đồng thuận nào về điểm này. Resnik chỉ viện đến các cấu trúc như một phép ngoại suy, bằng cách tuyên bố rằng trong số học, chúng ta coi các con số “cứ như thể chúng là các vị trí trong các mẫu thức vậy” (1997: 250). Shapiro phát triển một hữu thể luận tiên đề hóa cấu trúc đầy đủ, được thiết kế dựa trên mô hình của các vũ trụ ante rem, [6] trong khi Parsons tìm cách tránh sự phát triển tiên đề như vậy để ngược dòng về ngữ nghĩa, có nghĩa là bằng cách giới thiệu một số vị từ [7] và hàm tử [8] nhất định để nói về “các cấu trúc” của nó ở cấp độ siêu ngôn ngữ, thay vì giới thiệu các cấu trúc như là các đối tượng mới trong hữu thể luận của chúng tôi.¹² Đối với mục đích của tôi, sẽ không phải là vấn đề nào được chọn, mà là các cấu trúc được thực hiện để thể hiện các mối quan hệ được khởi tạo trong bất kỳ hệ thống các đối tượng thuộc loại nào, và những quan hệ này được thực hiện để xác định bản chất của các đối tượng của cấu trúc. Tất cả các nhà cấu trúc luận trên nên đồng ý về điểm này.

Nhưng các thuộc tính cấu trúc này “xác định tính chất” của các đối tượng toán học theo nghĩa nào? Một câu trả lời nhất quyết là chúng làm cạn kiệt các thuộc tính mà người ta có thể gán cho các đối tượng toán học một cách có ý nghĩa.¹³ Nhưng như nhiều nhà cấu trúc luận đã lưu ý, rõ ràng là giả mạo khi bất cứ điều gì người ta có thể muốn nói về các ứng dụng của toán học, các khẳng định như “2 là con số của các loài cá sấu còn tồn tại” hay “67 là số lượng mặt trăng của Sao Mộc” chắc chắn không vô nghĩa, mặc dù các thuộc tính có liên quan không có cấu trúc. Vì vậy, một sự khác biệt tinh tế hơn giữa các thuộc tính thiết yếu và không thiết yếu của các đối tượng toán học là cần thiết để giải thích rõ ràng quan điểm cấu trúc: nó không khẳng định các đối tượng toán học chỉ có các thuộc tính cấu trúc, hoặc đó là những thuộc tính duy nhất mà chúng rõ ràng có thể được cho là sở hữu.

Theo nghĩa nào khác, một đặc tính cấu trúc của đối tượng có thể là thiết yếu hay xác định bản chất? Các nhà cấu trúc luận không có gì nhiều để nói về điểm này. Đôi khi, người ta cho rằng các đối tượng toán học về cơ bản là không hoàn chỉnh - chúng “không có nhiều hơn một ‘bản chất’ được đưa ra bởi các mối quan hệ cơ bản của một cấu trúc mà chúng thuộc về” (Parsons 2004: 57), hoặc đó là “thực chất của một số tự nhiên,” chẳng hạn “là các mối quan hệ của nó với các số tự nhiên khác” (Shapiro 1997: 72, nhấn mạnh trong nguyên bản), hoặc “mọi thuộc tính mà số 2 có được đều nhờ ở vị trí [thứ hai] trong cấu trúc số tự nhiên […] bởi vì đó là những gì số 2 là” (Shapiro 2006: 121). Nhưng điều này lại không mấy hữu ích, bởi vì nó không bao giờ làm rõ được những cách thức mà chúng ta muốn là hiểu được cách nói về “các bản chất” và “các thực chất” trong những cụm từ đó. Hầu hết các nhà cấu trúc luận nổi bật đã miễn cưỡng đưa ra bất kỳ quan điểm tích cực nào liên quan đến các thực chất, và sự miễn cưỡng của họ làm cho cấu trúc luận trở thành một mục tiêu có gì đó khó nắm bắt. Các nhà phê bình sẽ phủ nhận rằng các đối tượng toán học “về thực chất” hoặc “cơ bản” là có tính quan hệ bằng cách giả sử một cách diễn giải nào đó về cách nói bản chất luận và trình bày các ví dụ về các thuộc tính phi cấu trúc được coi là “thiết yếu” về cách diễn giải này (ví dụ Hellman 2001: 192-94; hoặc Linnebo 2008), và sau đó các nhà cấu trúc luận trả lời bằng cách bác bỏ một số giả định của các nhà phê bình về các thực chất (xem Parsons 2004: 72-74; và Shapiro 2008: 303-04). Tôi sẽ không dừng lại quá lâu ở những lời chỉ trích quá vãng này. Tôi cho rằng, tất cả đều thất bại trong việc đưa ra cái công thức mạnh mẽ nhất của quan điểm cấu trúc luận, mà tôi sẽ trình bày dưới đây. Nhưng sẽ rất đáng để xem xét chúng trước khi tiếp tục, nếu chỉ để chúng ta tự nhắc nhở mình tại sao những cách diễn giải phổ biến về cách nói bản chất luận lại không phù hợp với các cam kết cơ bản của cấu trúc luận.

3.1. Lộ trình phản thực

Người ta có thể nghĩ rằng các khẳng định cấu trúc luận về các bản chất có thể được giải thích trong khuôn khổ phản thực, ví dụ bằng cách nói rằng các thuộc tính thiết yếu của một đối tượng là những thuộc tính mà nó có trong tất cả các thế giới khả thể.¹⁴ Vậy thì quan điểm cấu trúc luận sẽ là toàn bộ và chỉ các thuộc tính cấu trúc của các đối tượng toán học là không đổi qua tất cả các thế giới khả thể. Ví dụ, 2 là kế tiếp của 1 (và 1 + 1, và số dương, v.v.) ở mọi thế giới, nhưng có những thế giới không thể có số loài cá sấu hiện còn. Mọi điều vẫn tốt đẹp. Nhưng cách tiếp cận này quá dễ dãi cho các mục đích của nhà cấu trúc luận. Vì như nhiều nhà phê bình cấu trúc luận đã nhanh chóng lưu ý, không có thế giới nào trong đó các đối tượng toán học lại không trừu tượng, mặc dù “là trừu tượng”, không phải là một thuộc tính cấu trúc.¹⁵ Ngay cả với các ứng dụng đếm cơ bản của các số tự nhiên, trường hợp này có thể không rõ ràng như vẫn tưởng: số 2 thực sự có thể không đếm được các loài cá sấu còn tồn tại ở một thế giới nào đó, nhưng nó sẽ luôn có mối quan hệ phi cấu trúc nhất định với các đối tượng toán học khác, ví dụ, ở mọi thế giới, số 2 có thuộc tính là số các vật thể trong {ω, ω + 1}. Nhưng tính chất này, dù cần thiết, nhưng lại không thể xác định được bằng cách sử dụng riêng mối quan hệ kế tiếp, và do đó, không nên coi là cần thiết cho một cách giải thích cấu trúc luận của các số tự nhiên. Giờ đây các nhà cấu trúc luận cũng có thể kiên định rằng các thuộc tính như tính trừu tượng, trong khi không stricto sensu theo nghĩa nghiêm ngặt cấu trúc, nhưng dù sao cũng theo sau đặc điểm cấu trúc của các đối tượng toán học một cách trực giản (và tương tự như vậy đối với các thuộc tính xuất phát từ các ứng dụng của các số đếm). Nghĩa là có lẽ tính trừu tượng là một đặc tính mà các đối tượng toán học có được nhờ vào các bản chất cấu trúc của chúng, và một trong những đặc tính cần được đánh giá là “thiết yếu” cho giải thích đó, ngay cả khi nó không thể xác định theo khuôn khổ cấu trúc.¹⁶ Nhưng điều này chỉ để nói rằng các thuộc tính cấu trúc là “cơ bản” hoặc “nền tảng” trong một ý nghĩa nào đó khác, không phản thực và đưa chúng ta trở lại vấn đề ban đầu: các thuộc tính cấu trúc cơ bản ra sao và các thuộc tính chất giống tính trừu tượng có nguồn gốc như thế nào? Nếu chúng ta muốn khẳng định rằng tính trừu tượng của một đối tượng, “theo sau” các thuộc tính cấu trúc của nó, thì chúng ta nên có một câu chuyện để kể về ý nghĩa trong đó các thuộc tính nhất định của các đối tượng toán học có thể “theo sau” hay tiếp tục “nhờ ở” những thuộc tính khác cơ bản hơn.

3.2. Lộ trình cơ bản

Hay chúng ta nên? Có lẽ động thái đúng đắn là không tìm kiếm một cách giải thích cho câu chuyện về các thực chất hoặc ưu tiên của chúng ta, mà chỉ đơn giản coi những khái niệm này là nguyên thủy. Vậy là quan điểm cấu trúc luận có thể được nêu khẳng định bằng một số cách - người ta có thể nói về các con số, các tập hợp, v.v ... là tất cả các đối tượng mà chúng có nhờ ở  các thuộc tính cấu trúc của chúng, hoặc người ta có thể nói rằng các thuộc tính cấu trúc có cơ sở, hoặc là nền tảng cho, hoặc giải thích (theo nghĩa siêu hình) cho đồng nhất thức của chúng, trong đó tất cả các công thức sẽ được sử dụng để thể hiện một quan niệm nguyên thủy về bản chất.¹⁷ Nhưng phản ứng này vẫn để ngỏ cấu trúc luận cho một tuyến phê phán nổi tiếng khác. Vì nếu đồng nhất thức cơ bản của các đối tượng toán học riêng lẻ được đưa ra bởi các mối quan hệ cấu trúc của chúng, thì sẽ là đương nhiên khi nghĩ rằng các quan hệ cấu trúc này cũng sẽ đủ để phân biệt các đối tượng toán học với nhau. Thật tự nhiên khi nghĩ về điều này bởi vì cách giải thích đầy đủ về một đồng nhất thức cơ bản của một đối tượng riêng lẻ nào đó được coi là nói cho chúng ta biết cá nhân đó là gì, nghĩa là trả lời cho một câu hỏi Socratic “X là gì?”.¹⁸ Và nếu lời đáp  cho câu hỏi Socratic “X là gì?” và “Y là gì?” là như nhau, thì X và Y có thể được coi một cách hợp lý là cùng một thứ. Lấy một ví dụ đơn giản, nếu đồng nhất thức cơ bản của các đối tượng vật lý được đưa ra bởi sự sắp xếp nhất định của các hạt, thì có vẻ hợp lý là các đối tượng được cấu thành bởi các hạt giống hệt nhau được sắp xếp theo cách chính xác như nhau là như nhau. Vì vậy, trong trường hợp toán học, chúng ta cũng hy vọng rằng tất cả các đối tượng có chung các đặc tính thiết yếu như nhau thì đồng nhất.¹⁹

Nhưng như Burgess và Keränen đã chỉ ra, các mối quan hệ cấu trúc không đủ để phân biệt các yếu tố liên hợp của các cấu trúc biến dạng.²⁰ Chẳng hạn, các số phức i và - i, có chung tất cả các mối quan hệ của chúng trong ℂ, cũng như 1 và -1 trong nhóm cộng (ℤ, +) và bất kỳ hai điểm nào trong mặt phẳng Euclide. Vì vậy, chúng sẽ có chung tất cả các mối quan hệ của chúng trong các cấu trúc được trừu tượng hóa mà đây chính là các trường hợp ấy. Nhưng sau đó, không rõ bằng cách nào mà các nhà cấu trúc luận lại phân biệt i với - i khi các đối tượng này có chung tất cả các đặc tính cấu trúc của chúng và các đặc tính này là những đặc tính duy nhất căn cứ vào đồng nhất thức của chúng. Đây không phải là một sự phản đối tối thiểu, vì các nhà cấu trúc luận có thể phủ nhận suy nghĩ tự nhiên mà tôi đã nói ở trên, là cái liên kết bản chất của các đối tượng toán học với các điều kiện đồng nhất thức cho các đối tượng này. Ví dụ, người ta có thể lập luận rằng tính khác biệt của các đối tượng toán học không thực sự dựa trên bất cứ điều gì, và nó cũng cần phải được coi là một tính khác biệt nguyên thủy phi phân tích hơn là phụ thuộc vào cách xử lý siêu hình học. Hoặc người ta có thể đơn giản từ bỏ một số gánh nặng giải thích của cấu trúc luận: nếu người ta không mong đợi một hữu thể học toán học để giải thích các sự kiện về việc cá thể hóa, thì dĩ nhiên, sự phản đối của Burgess-Keränen nghe sẽ có vẻ trống rỗng. ²¹ Tôi sẽ không dừng lại ở các giá trị đặc biệt của những phản hồi này - quan điểm của tôi ở đây chỉ là nhà cấu trúc luận phải từ chối tư tưởng tự nhiên mà tôi đã trình bày ở trên, và điều này đi sẽ đụng chạm đến trực giác cơ bản của chúng ta liên quan đến một quan niệm nguyên thủy về bản chất. Vì vậy, nó sẽ không viện đến một  khái niệm trực quan nào đó về bản chất, hoặc gợi lên khái niệm bản chất thường được sử dụng trong các giải thích siêu hình học của các lĩnh vực phi toán học khác và bỏ lại mọi thứ ở đó. Các nhà cấu trúc phải nói nhiều hơn về cách diễn giải của họ về câu chuyện bản chất luận.

Tôi thấy có hai lựa chọn. Nhà cấu trúc luận có thể đơn giản đào hố dưới gót chân mình: nếu một số trường hợp toán học không phù hợp với quan niệm rộng lớn hơn của chúng ta về bản chất, thì có lẽ quan niệm đó cần phải được sửa đổi, hoặc có thể một khái niệm khác về bản chất đang dần có vai trò trong các trường hợp toán học. Rốt cuộc, đây được cho là một khái niệm nguyên thủy về bản chất, vậy tại sao lại không quy định rằng các bản chất toán học khá khác biệt so với những thứ xuất hiện trong các lĩnh vực khác? Tuy nhiên, không có bất kỳ cách giải thích tích cực nào về các bản chất toán học, nên loại quy định này có vẻ hoàn toàn ad hoc đặc biệt. Không rõ làm thế nào người ta có thể tranh luận chống lại nó, ngoại trừ việc chỉ ra rằng khái niệm nguyên thủy của nhà cấu trúc luận nên kiếm cách nuôi thân, và cho đến nay nó vẫn chưa được thúc đẩy ngoại trừ như một phản ứng đối với loại phản đối được nêu trong phần này. ²² Theo tôi, lời đáp tốt hơn chính là khẳng định rằng khái niệm bản chất của nhà cấu trúc luận giải thích một số đặc tính chủ chốt của việc thực hành toán học, và việc sử dụng nó được bảo đảm bởi tính hiệu quả giải thích của nó. Nhưng trên quan điểm như vậy, diễn giải của chúng ta về câu chuyện bản chất luận sẽ được xác định bằng thực tiễn và diễn ngôn của các nhà toán học đang làm việc. Và nếu điều đó xảy ra, thì khó có thể thấy được những gì sẽ đạt được bằng cách coi khái niệm bản chất là khái niệm nguyên thủy siêu hình thay vì hệ thống hóa thành cấu trúc luận như một giả thuyết dựa trên kinh nghiệm nhiều hơn. Trong thực tế, tư duy này về cấu trúc luận nhanh chóng dẫn đến những gì tôi coi là việc hệ thống hóa mạnh mẽ nhất của quan điểm này, sẽ trình bày đầy đủ hơn trong phần tiếp theo.

__________________________________________

Còn nữa….

Nguồn: Gasser, Marc (2015). Structuralism and Its Ontology. Ergo, Journal of Philosophy, Vol. 2, No. 1, 2015.

Tác giả: Marc Gasser-Wingate làm việc tại Đại học Boston từ năm 2015, sau khi lấy bằng Cử nhân của Đại học Chicago, và bằng Tiến sĩ tại Đại học Harvard. Lĩnh vực quan tâm của ông bao gồm triết học cổ đại và triết học toán học. Ông hiện đang tập trung vào các cách giải thích cổ đại về tư duy, và tác động của chúng đối với các cuộc tranh luận liên quan đến bản chất và mức độ hiểu biết của con người. Hiện Marc là trợ lý giáo sư tại khoa triết học của Đại học Boston. Công việc hiện tại là nghiên cứu các tác phẩm nhận thức luận của Aristotle, bên cạnh đó ông còn quan tâm đến triết học toán học đương đại, đặc biệt là các câu hỏi liên quan đến giải thích toán học, và các phương pháp tiếp cận cấu trúc luận đối với hữu thể luận toán học.

Ghi chú của người dịch:

[1] Vấn đề phép đồng nhất Benacerraf: Trong triết học toán học, vấn đề đồng nhất Benacerraf là một lập luận triết học được Paul Benacerraf phát triển chống lại chủ thuyết Platonism về lý thuyết tập hợp, và được xuất bản năm 1965 trong một bài báo có tựa đề What Numbers Could Not Be “Những con số không thể là gì”. Về phương diện lịch sử, công trình đã trở thành một chất xúc tác quan trọng trong việc thúc đẩy sự phát triển của cấu trúc luận toán học. Vấn đề đồng nhất lập luận rằng có tồn tại một vấn đề cơ bản trong việc quy giản các số tự nhiên thành các tập thuần túy. Vì tồn tại vô số cách xác định các số tự nhiên bằng các tập thuần túy, nên không có phương pháp lý thuyết tập hợp cụ thể nào có thể được xác định là quy giản “chân”. Benacerraf cho rằng bất kỳ nỗ lực nào để đưa ra một lựa chọn quy giản như vậy đều lập tức dẫn đến việc tạo ra một sai lầm về lý thuyết tập hợp, siêu cấp, cụ thể là liên quan đến các lý thuyết tập hợp tương đương sơ cấp khác không giống với lý thuyết đã chọn. Vấn đề đồng nhất cho rằng điều này tạo ra một vấn đề cơ bản cho chủ thuyết Platonism, trong đó khẳng định rằng các đối tượng toán học có sự tồn tại thực sự, trừu tượng. Song đề Benacerraf đối với lý thuyết tập hợp Platonic lập luận rằng các nỗ lực Platonic nhằm đồng nhất việc quy giản “chân” các số “tự nhiên” thành các tập thuần túy, như việc bộc lộ các thuộc tính nội tại của các đối tượng toán học trừu tượng này là không thể. Kết quả là, vấn đề đồng nhất cuối cùng cho rằng mối quan hệ của lý thuyết tập hợp với các số tự nhiên không thể có bản chất Platonic về mặt hữu thể luận.

[2] Paul Joseph Salomon Benacerraf (1931 - ) là một triết gia người Mỹ gốc Pháp làm việc trong lĩnh vực triết học toán học, ông đã giảng dạy tại Đại học Princeton kể từ khi ông gia nhập khoa vào năm 1960. Ông được bổ nhiệm làm giáo sư triết học Stuart năm 1974, và nghỉ hưu năm 2007 với tư cách là giáo sư triết học của trường đại học James S. McDonnell. Benacerraf được sinh ra ở Paris với cha mẹ là người Do Thái Sephardic từ Morocco và Algeria. Năm 1939, gia đình chuyển đến Caracas và sau đó đến Thành phố New York. Khi gia đình trở về Caracas, Benacerraf vẫn ở Hoa Kỳ nội trú tại Trường Peddie ở Hightstown, NJ. Ông học Đại học Princeton, kể cả thời sinh viên và sau đại học. Ông được bầu làm thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Hoa Kỳ năm 1998. Anh trai của ông là nhà miễn dịch học đoạt giải Nobel Venezuela Baruj Benacerraf. Benacerraf có lẽ được biết đến nhiều nhất với hai bài viết “Những con số không thể là gì” (1965) và Chân lý toán học” (1973), và vì tuyển tập của ông về triết học toán học, đồng biên tập với Hilary Putnam. Về đời tư, ông bị Elisabeth Lloyd cáo buộc quấy rối tình dục khi cô còn là nghiên cứu sinh tại Princeton. Benacerraf đã bác bỏ các cáo buộc trên.

[3] John von Neumann (1903 – 1957) là một nhà toán học người Mỹ gốc Hungary và là một nhà bác học thông thạo nhiều lĩnh vực đã đóng góp vào vật lý lượng tử, giải tích hàm, lý thuyết tập hợp, kinh tế, khoa học máy tính, giải tích số, động lực học chất lưu, thống kê và nhiều lĩnh vực toán học khác.  Đáng chú ý nhất, von Neumann là nhà tiên phong của máy tính kỹ thuật số hiện đại và áp dụng của lý thuyết toán tử (operator theory) vào cơ học lượng tử, một thành viên của Dự án Manhattan, người sáng lập ra lý thuyết trò chơi. Cùng với Edward Teller và Stanisław Ulam, von Neumann khám phá ra những bước quan trọng trong vật lý hạt nhân liên quan đến phản ứng nhiệt hạchvà bom khinh khí. Tại Đại học Budapest, von Neumann được các giáo sư bồi dưỡng về môn toán. Ông nhận bằng Tiến sĩ toán học Đại học Budapest vào năm 23 tuổi. Von Neumann được mời sang Princeton, New Jersey vào năm 1930, và là một trong bốn người được chọn cho các giáo sư đầu tiên của Institute for Advanced Study, nơi ông là giáo sư toán học từ ngày thành lập viện năm 1933 cho đến khi ông mất. Vào năm 1937, ông trở thành công dân Mỹ. Von Neumann bị ung thư xương hay ung thư tuyến tụy vào năm 1957, có lẽ là do nhiễm phóng xạ trong khi theo dõi các thử nghiệm về bom A ở Thái Bình Dương. Tên của von Neumann được dùng trong kiến trúc von Neumann được dùng trong hầu hết các loại máy tính, bởi vì các tác phẩm của ông về khái niệm này. Hầu hết các máy tính tại nhà, microcomputer, minicomputer và máy tính mainframe đều là máy tính von Neumann. John von Neumann có khả năng giải quyết cũng một lúc trong đầu nhiều vấn đề phức tạp. Von Neumann đã trải qua một sự nghiệp hàn lâm nhanh như chớp tương tự như vận tốc của trí tuệ của ông, ở tuổi 29 đạt được một trong năm vị trí giáo sư tại viện Institute for Advanced Study vừa thành lập tại Đại học Princeton (một vị trí khác là của Albert Einstein). Có thể nói ông là bộ óc đằng sau các khía cạnh “khoa học” của Chiến tranh Lạnh.

[4] Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871 - 1953) là một nhà logic học và toán học người Đức, người có công rất quan trọng đối với nền tảng của toán học. Ông được biết đến với vai trò phát triển lý thuyết tập hợp tiên đề Zermelo - Fraenkel và bằng chứng của ông về định lý trật tự tốt. Ernst Zermelo tốt nghiệp trường Luisenstädtisches Gymnasium của Berlin năm 1889. Sau đó, ông học toán, vật lý và triết học tại các trường đại học Berlin, Halle và Freiburg. Ông đã hoàn thành bằng tiến sĩ năm 1894 tại Đại học Berlin. Zermelo vẫn ở Đại học Berlin, nơi ông được bổ nhiệm làm trợ lý cho Planck. Năm 1897, Zermelo đến Gottingen, lúc đó là trung tâm nghiên cứu toán học hàng đầu trên thế giới, năm 1910, Zermelo rời Gottingen và được bổ nhiệm trưởng khoa toán học tại Đại học Zurich và ông từ chức năm 1916. Ông được bổ nhiệm vào ghế chủ tịch danh dự tại Đại học Freiburg năm 1926, và từ chức năm 1935 vì không chấp thuận chế độ của Adolf Hitler. Zermelo bắt đầu nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết tập hợp dưới ảnh hưởng của Hilbert và vào năm 1902 đã xuất bản công trình đầu tiên của ông liên quan đến việc bổ sung các bản số siêu hạn. Zermelo bắt đầu đưa ra lý thuyết tập hợp tiên đề vào năm 1905; vào năm 1908, ông đã công bố kết quả của mình mặc dù không chứng minh được tính nhất quán của hệ thống tiên đề của mình. Năm 1922, Abraham Fraenkel và Thoralf Skolem đã cải thiện độc lập hệ thống tiên đề của Zermelo. Hệ thống tiên đề 8 kết quả, hiện được gọi là tiên đề Zermelo-Fraenkel (ZF), hiện là hệ thống được sử dụng phổ biến nhất cho lý thuyết tập hợp tiên đề. Được đề xuất vào năm 1931, vấn đề điều hướng của Zermelo là một vấn đề kiểm soát tối ưu cổ điển.

[5] Trong toán học, cắt Dedekind được đặt theo tên nhà toán học người Đức Richard Dedekind nhưng trước đây được Joseph Bertrand nghiên cứu, là phương pháp xây dựng các số thực từ các số hữu tỷ. Cắt Dedekind là một phân hoạch các số hữu tỷ thành hai tập A và B không trống, sao cho tất cả các phần tử của A nhỏ hơn tất cả các phần tử của B và A không chứa phần tử lớn nhất. Tập B có thể có hoặc không có phần tử nhỏ nhất trong số các số hữu tỷ. Nếu B có phần tử nhỏ nhất trong số các số hữu tỷ thì cắt tương ứng với số hữu tỷ đó. Mặt khác, cắt đó xác định một số vô tỷ duy nhất, nói đại khái, lấp đầy “khoảng trống” giữa A và B. Nói cách khác, A chứa mọi số hữu tỷ nhỏ hơn cắt và B chứa mọi số hữu tỷ lớn hơn hoặc bằng cắt. Một cắt vô tỷ tương đương với một số vô tỷ không thuộc cả hai tập. Mỗi số thực, hữu tỷ hay không, đều tương đương với một và chỉ một cắt của số vô tỷ. Cắt Dedekind có thể được khái quát hóa từ các số hữu tỷ thành bất kỳ tập được sắp hoàn toàn nào bằng cách xác định một cắt Dedekind là một phân hoạch của một tập được sắp hoàn toàn thành hai phần không trống A và B, sao cho A là tập đóng xuống (nghĩa là cho tất cả a trong A, x ≤ a ngụ ý rằng x cũng nằm trong A) và B là tập đóng lên và A không chứa phần tử lớn nhất.

[6] Stewart Shapiro giáo sư triết học, đại học Bang Ohio chia cấu trúc luận thành ba trường phái tư tưởng lớn. Những trường phái này được gọi là ante rem, in re và post rem. Cấu trúc luận ante rem - trước sự vật - hay cấu trúc luận trừu tượng hoặc trừu tượng luận - đặc biệt gắn liền với Michael Resnik, Stewart Shapiro, và Edward N. Zalta - có một hữu thể luận tương tự như Platonism. Các cấu trúc được tổ chức để có một sự tồn tại thực sự nhưng trừu tượng và phi vật chất. Theo nghĩa đen, nó phải đối mặt với vấn đề nhận thức luận tiêu chuẩn - như Benacerraf đã lưu ý - về việc giải thích mối tương tác giữa các cấu trúc trừu tượng như vậy và các nhà toán học nghiêm chỉnh. Cấu trúc luận in re - trong sự vật - hoặc cấu trúc luận mô thái, đặc biệt gắn liền với Geoffrey Hellman, tương đương với hiện thực luận Aristoteles - hiện thực luận chân giá trị, nhưng lại phản hiện thực luận về các đối tượng trừu tượng trong hữu thể luận. Các cấu trúc được tổ chức để tồn tại bởi vì một hệ thống cụ thể nào đó minh họa cho chúng. Điều này phát sinh các vấn đề thông thường mà một số cấu trúc hoàn toàn hợp thức có thể vô tình không tồn tại và một thế giới vật chất hữu hạn có thể không đủ “lớn” để dung chứa một số cấu trúc hợp thức khác. Cấu trúc luận post rem - sau sự vật - hay cấu trúc luận loại trừ, đặc biệt liên quan đến Paul Benacerraf, là phản-hiện thực luận về các cấu trúc theo cách tương đồng với duy danh luận. Giống như duy danh luận, cách tiếp cận post rem phủ nhận sự tồn tại của các đối tượng toán học trừu tượng với các thuộc tính khác với vị trí của chúng trong một cấu trúc quan hệ. Theo quan điểm này, các hệ thống toán học tồn tại và có các đặc điểm cấu trúc chung. Nếu một cái gì đó chân với một cấu trúc, thì nó sẽ là chân với tất cả các hệ thống minh họa cho cấu trúc đó. Tuy nhiên, nó chỉ đơn thuần là công cụ để nói về các cấu trúc được “tổ chức chung” giữa các hệ thống: thực tế chúng không có sự tồn tại độc lập.

[7] Vị từ, và logic vị từ là gán các đặc điểm cho một chủ đề để tạo ra một tuyên bố có ý nghĩa kết hợp các yếu tố bằng lời nói và danh nghĩa. Do đó, một đặc điểm chẳng hạn như warm “nóng” (được ký hiệu thông thường bằng chữ in hoa W) có thể được khẳng định cho một chủ đề duy nhất, ví dụ, một món ăn (dish) được biểu tượng bằng một chữ cái d, thường được gọi là “đối số”. Tuyên bố kết quả là “Món ăn này nóng”; tức là, Wd. Sử dụng ∼ để tượng trưng cho “không”, thì tuyên bố phủ nhận ∼Wd cũng có thể được khẳng định. Nếu lời tuyên bố “nóng” được khẳng định là không xác định, thì một khoảng trống — có thể được để lại ở vị trí vị từ, W—, hoặc có thể sử dụng biến x, do đó tạo ra hàm mệnh đề mà x là “nóng” thay vì một mệnh đề xác định. Bằng cách định lượng hàm theo (∀x), nghĩa là “Cho mọi x…,” hoặc bởi (∃x), có nghĩa là “Có một x sao cho…,” nó lại được chuyển thành một mệnh đề, kể cả chung hoặc riêng thay vì duy nhất, khẳng định tính chất “nóng” (hoặc phủ định nó) của một số hoặc nhiều chủ đề trong cùng một loại. Logic vị từ giống hệt nhau nếu nó đặc trưng cho mọi chỉ vật (x); nó khác nhau nếu không đặc trưng cho một số hoặc tất cả các chỉ vật.

[8] Hàm tử (functor): Trong toán học, cụ thể là lý thuyết phạm trù, một hàm tử là bản đồ giữa các loại hạng, phạm trù. Các hàm tử lần đầu tiên được xem xét trong cấu trúc tôpô đại số, trong đó các đối tượng đại số (như nhóm cơ bản) được liên kết với các không gian tôpô và các bản đồ giữa các đối tượng đại số này được liên kết với các bản đồ liên tục giữa các không gian. Ngày nay, hàm tử được sử dụng xuyên suốt toán học hiện đại liên quan đến các loại hạng, phạm trù khác nhau. Do đó, hàm tử rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực toán học mà lý thuyết phạm trù được áp dụng. Từ hàm tử functor được các nhà toán học mượn của nhà triết học Rudolf Carnap, ông đã sử dụng thuật ngữ này trong một ngữ cảnh ngôn ngữ học.

Ghi chú

1. Major proponents of structuralism as an ontological view include Resnik (1981; 1997), Parsons (1990; 1995), and Shapiro (1997). I’ll briefly discuss other forms of structuralism in what follows.

2. See for instance Parsons (1990: 306–11), Resnik (1997: 91, 267), and Shapiro (1997: 5–6, 78–80).

3. See for instance Parsons (2004: §2) and Shapiro (2008: 289, 300–301).

4. The following distinction between eliminative and noneliminative structuralism follows Parsons (see for instance 1990; or 2004: 57–59). It corresponds roughly to Shapiro’s distinction between in re and ante rem structuralism (1997: 149–50), Hale’s distinction between pure-structuralism and abstract-structuralism (1996: 125), and Dummett’s distinction between hard-headed and mystical structuralism (1991: 295–96). There are subtle differences in each case, but they won’t matter for the purposes of this paper.

5. So a statement like “5 + 2 = 7” might be read as elliptical for “in any N, 0, 1, +, × satisfying Peano’s axioms, 5 + 2 = 7,” or, on a more sophisticated eliminativist reading, for the conjunction stating that it is logically possible that there be a structure satisfying Peano’s axioms, and that “5 + 2 = 7” holds in any possible structure of this type (where the interpretation of the terms in the equation depends on the structure). I believe the latest efforts in this direction are in Hellman (2005).

6. This hasn’t always been the case. In Dedekind (1888), for instance, statements of arithmetic are characterized as implicitly general statements about all simply infinite systems satisfying certain structural conditions, but these systems are not further explained in structuralist terms. The Bourbaki group can also be seen as trying to develop a structuralist account of mathematics from within (non-structuralist) set theory, and it has been suggested that category theory might play a similar role (cf. Bell 1981; 1986). For a more recent defense of a restricted form of structuralism, see Linnebo (2008).

7. Benacerraf’s article has become something of a locus classicus for the problem, but as Parsons notes the existence of such reductions was already well-known to structuralists at the turn of the twentieth century (1990: 304). Though Benacerraf focuses on numbers, the difficulty is easily extended to any mathematical object

8. This is not the response of eliminative structuralists, who do endorse Benacerraf’s conclusion (not always for the same reasons).

9. A common way of putting this point is to say that mathematicians only care about things “up to isomorphism.”

10. We need not specify here exactly how this abstraction procedure is meant to happen, for

structuralists typically don’t claim that their theory holds any epistemological advantage over moreclassical forms of Platonism.

11. Structuralists say structures are exemplified by or realized by or instantiated in various systems of objects. For instance, the successor relation belonging to the structure of an ω-sequence is exemplified by SV(x) in the finite von Neumann ordinals, and by SZ(x) in the Zermelo numerals. The number 0 is exemplified by ∅ in both of these systems, and by 0 in the system of even positive integers.

12. So for instance where Shapiro seeks to introduce an ω-sequence structure meeting certain formal requirements, Parsons will merely describe the ways we use a predicate “N” and some functors like “+” or “×” (assuming here that “0” and “S” are defined in terms of these functors). The idea behind Parsons’ approach is that we can describe the way such functors and predicates operate at an informal metalinguistic level, without introducing any of the entities to which they might refer. (The aim here is to avoid an axiomatic system in which structures are essentially treated like sets, and so seem like they should themselves be subject to further structuralist treatment, making the view rather circular.) Shapiro’s ontology is developed in (1997: 90–97). Parsons raises some difficulties for Shapiro’s approach and defends semantic ascent in (2004: 64–66) and (2008: 111–14).

13. This line is suggested by some remarks of Parsons (“there is only a certain specific range of predicates such that there is a fact of the matter as to whether they are true of the object in question”) (1990: 334) and Shapiro (“The number 2, for example, is no more and no less than the second position in the natural-number structure; 6 is the sixth position”) (1997: 72). But in fact both authors reject such a flatfooted response (cf. Parsons 2004: 57; Shapiro 2008: 286).

14. Or in all possible worlds in which it exists—I take it these amount to the same thing in the

case of mathematical objects.

15. See for instance Linnebo (2008: 65). As Shapiro notes, even if one denies that mathematical objects are necessarily abstract, it seems right to say that they need not have a concrete instantiation, and if this is indeed right the (nonstructural) property “being possibly abstract” would serve as a counterexample (2006: 120).

16. Shapiro says something along these lines (2006: 121).

17. It’s beyond the scope of this paper to examine notions of grounding or essence in any sort of detail. I have in mind here a notion similar to the one defended in Fine (1994; 2001). In what follows I’ll use its various formulations interchangeably—for my purposes, all that matters is that we agree that an object’s essence (or the features which ground, or are fundamental to, or explain its identity) is what makes it the object it is. I take it this is part of the standard understanding of metaphysical essence.

18. For the connection between grounding notions and Socratic questions of this sort, see Rosen (2010: 122).

19. I’m only claiming here that we’d expect this without any further discussion of essences. In

what follows I’ll be considering the response that this natural thought must simply be false in the mathematical case (and perhaps also in the case of physical objects).

20. S tructures are nonrigid if they have nontrivial automorphisms. By conjugate elements I mean the elements exchanged by some nontrivial automorphism. The objection was initially voiced in Burgess (1999: 287–88), and developed in detail in Keränen (2001). See also Keränen (2006). You might think a less radical response is possible, for rejecting the natural thought only requires that distinct mathematical objects have some non-essential property that would allow us to distinguish them. For instance, there is an irreflexive relation holding between i and −i in ℂ, namely the relation “x is a nonzero additive inverse of y,” and if we think the existence of such an irreflexive relation is sufficient to establish nonidentity, we will be in a position to distinguish all the problematic pairs of conjugates mentioned above (this is the suggestion advanced in Ladyman 2005). But in fact this more subtle response doesn’t generalize: in the following three directed graphs, for instance, the a and b nodes share all their properties: [...] In the first case, a and b are pointed to by everything, in the second they’re both pointed to only by c, and in the third they’re pointed to by nothing at all. In all these cases they should count as distinct nodes of the graph, yet in none do we have any irreflexive relation (outside nonidentity, of course) which would serve to distinguish the two (similar graphs are invoked in Keränen 2001: 321; Button 2006: 218; Ketland 2006: 309; and Leitgeb and Ladyman 2008: 391–92). The moral is that we can’t dismiss the Burgess-Keränen objection by claiming that it rests on an overly strong version of the Identity of Indiscernibles. So the more radical response I’ve presented above (identity facts are not grounded in anything, or at least not explained by the ontology of mathematics) is necessary. (This more radical response is presented in Ketland 2006, and Leitgeb and Ladyman 2008, though the idea behind it was already in Parsons 2004: 75, where it’s attributed to Linnebo. Shapiro endorses it in 2008: 287–89.)

22. One might object that there has been an attempt to motivate a very thin, non-individuating notion of mathematical essence—for it has been pointed out that a similarly thin notion of essence is sometimes thought to apply to physical objects (cf. for instance Ladyman 2005; Leitgeb and Ladyman 2008: 395–96). But in fact it’s a contentious question whether or not physical entities should count as objects when they can’t be individuated on the basis of some irreflexive relation (and recall that in the mathematical case, distinct objects need not satisfy any irreflexive relation, as noted in fn.21). So it’s not as though the structuralist’s notion of essence can be motivated on the basis of some well-accepted claims about physical objects. In fact, the argument advanced by Leitgeb and Ladyman goes the other way around: claims about the individuation of physical entities are motivated by claims about the distinctness of structural mathematical objects, and these latter claims are supposed to be motivated by mathematical practice (2008: 391–92). This is precisely the “better answer” I’ll be investigating section 3.3.

Tài liệu dẫn

Bell, John L. (1981). Category Theory and the Foundations of Mathematics. British Journal for the Philosophy of Science, 32(4), 349–358.

Bell, John L. (1986). From Absolute to Local Mathematics. Synthese, 69(3), 409–426.

Benacerraf, Paul (1965). What Numbers Could Not Be. The Philosophical Review, 74(1),47–73.

Burgess, John (1999). Book Review: Stewart Shapiro. Philosophy of Mathematics: Structure

and Ontology. Notre Dame Journal of Formal Logic, 40(2), 283–291.

Burgess, John (2009). Putting Structuralism in Its Place. Unpublished manuscript.

Button, Tim (2006). Realistic Structuralism’s Identity Crisis: A Hybrid Solution. Analysis, 66(3), 216–222.

Dedekind, Richard (1888). Was Sind und Was Sollen die Zahlen? Vieweg.

Dedekind, Richard (1901). Essays on the Theory of Numbers (Wooster Woodruff Beman, Trans.). The Open Court Publishing Company.

Dummett, Michael (1991). Frege: Philosophy of Mathematics. Harvard University Press. Structuralism and Its Ontology.

Easwaran, Kenny (2008). The Role of Axioms in Mathematics. Erkenntnis, 68(3), 381–391.

Fine, Kit (1994). Essence and Modality. Philosophical Perspectives, 8, 1–16.

Fine, Kit (2001). The Question of Realism. Philosopher’s Imprint, 1(1), 1–30.

Gödel, Kurt (1964). What Is Cantor’s Continuum Problem? In Solomon Feferman, John W. Dawson Jr, Stephen C. Kleene, Gregory H. Moore, Robert M. Solovay, and Jean van Heijenoort (Eds.), Kurt Gödel, Collected Works Volume II: Publications 1938–1974, 254–270, Oxford University Press.

Hale, Bob (1996). Structuralism’s Unpaid Epistemological Debts. Philosophia Mathematica, 4(2), 124–47.

Hellman, Geoffrey (2001). Three Varieties of Mathematical Structuralism. Philosophia Mathematica, 9(2), 184–211.

Hellman, Geoffrey (2005). Structuralism. In Stewart Shapiro (Ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, 536–562, Oxford University Press.

Incurvati, Luca (2012). How to Be a Minimalist About Sets. Philosophical Studies, 159(1), 69–87.

Jammer, Max (2000). Concepts of Mass in Contemporary Physics and Philosophy. Princeton University Press.

Keränen, Jukka (2001). The Identity Problem for Realist Structuralism. Philosophia Mathematica, 9(3), 308–330.

Keränen, Jukka (2006). The Identity Problem for Realist Structuralism II: A Reply to Shapiro.

In Fraser MacBride (Ed.), Identity and Modality, 146–163, Oxford University Press.

Ketland, Jeffrey (2006). Structuralism and the Identity of Indiscernibles. Analysis, 66(4), 303–315.

Ladyman, James (2005). Mathematical Structuralism and the Identity of Indiscernibles. Analysis, 65(3), 218–221.

Leitgeb, Hannes, and James Ladyman (2008). Criteria of Identity and Structuralist Ontology. Philosophia Mathematica, 16(3), 288–396.

Linnebo, Øystein (2008). Structuralism and the Notion of Dependence. Philosophical Quarterly, 58(230), 59–79.

Martin, Donald A. (2001). Multiple Universes of Sets and Indeterminate Truth Values. Topoi, 20(1), 5–16.

Parsons, Charles (1990). The Structuralist View of Mathematical Objects. Synthese, 84(3), 303–346.

Parsons, Charles (1995). Structuralism and the Concept of Set. In Walter Sinnott-Armstrong, Diana Raffman, and Nicholas Asher (Eds.), Modality, Morality, and Belief: Essays in Honor of Ruth Barcan Marcus, 74–92, Cambridge University Press.

Parsons, Charles (2004). Structuralism and Metaphysics. Philosophical Quarterly, 54(214), 56–77.

Parsons, Charles (2008). Mathematical Thought and Its Objects. Cambridge University Press.

Resnik, Michael (1981). Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference. Noûs, 15(4), 529–550.

Resnik, Michael (1997). Mathematics as a Science of Patterns. Oxford University Press.

Rosen, Gideon (2010). Metaphysical Dependence: Grounding and Reduction. In Bob Hale and Aviv Hoffman (Eds.), Modality: Metaphysics, Logic, and Epistemology, 109–136, Oxford University Press.

Shapiro, Stewart (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press.

Shapiro, Stewart (2006). Structure and Identity. In Fraser MacBride (Ed.), Identity and Modality, 109–145, Oxford University Press.

Shapiro, Stewart (2008). Identity, Indiscernibility, and Ante Rem Structuralism: The Tale of i and −i. Philosophia Mathematica, 16(3), 285–309.

Tappenden, Jamie (2005). Proof Style and Understanding in Mathematics I: Visualization, Unification and Axiom Choice. In Paolo Mancosu, Klaus F. Jørgensen, and Stig A. Pedersen (Eds.), Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics, 147–214, Springer.

Tappenden, Jamie (2012). Fruitfulness as a Theme in the Philosophy of Mathematics. Journal

of Philosophy, 109(1–2), 204–219.

Weaver, George (1998). Structuralism and Representation. Philosophia Mathematica, 6(3), 257–271.

Weyl, Hermann (1913). Die Idee der Riemannschen Fläche. Teubner.

Wilson, Mark (1992). Frege: The Royal Road from Geometry. Noûs, 26(2), 149–1